Question

已知函数f（x）=x-klnx，常数k＞0．
（I）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（II）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围；
（III）设函数F（x）=，求证：F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2ⁿ（n+1）ⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求导函数，可得，因为x=1是函数f（x）的一个极值点，f′（1）=0，∴k=1，…（2分）
所以
令f′（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（-∞，0），∵x＞0，∴x∈（1，+∞）
令f′（x）＜0，可得x∈（0，1）…（3分）
故函数F（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）解：因为函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，则g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，即对x∈（1，2）恒成立　　　　　　　　 …（5分）
令，则知对x∈（1，2）恒成立．…（6分）
所以在x∈（1，2）单调递增，h_min（x）＞h（1）=2..…．…（7分）
所以k≤2．（8分）
（Ⅲ）证明：F（x）==，F（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
因为（）（）=++＞（2n-k）（k+1）+2=2n+2+2nk-k²-k=2n+2+k（2n-k-1）＞2n+2．…（10分）
（k=0，1，2，3…n-1）
所以（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2，…，（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2．…（11分）
相乘，得：F（1）F（2）F（3）…F（2n）
=（）（）…（）＞（2n+2）ⁿ=2ⁿ（n+1）ⁿ．…（12分）
分析：（Ⅰ）求导函数，根据x=1是函数f（x）的一个极值点，可求k的值，令f′（x）＞0，可得函数F（x）的单调递增区间，令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（Ⅱ）根据函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，可得g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，即对x∈（1，2）恒成立，令，求出最小值，即可求得k的取值范围；
（Ⅲ）先证明（）（）＞2n+2，再利用叠乘即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是分离参数，确定函数的最值．