Question

已知四棱锥P-ABCD，其三视图和直视图如图．
（1）求该四棱锥体积；
（2）证明：平面PAE⊥平面PDE．

Answer 1

分析：（1）根据三视图可求四棱锥的高和底面积，然后求出体积．（2）利用面面垂直的判定定理进行证明．

解答：解：（1）由三视图知底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，顶点P在面ABCD内的射影为BC为中点E，棱锥的高为2，…（2分）
则体积VP-ABCD=

1

3

SABCD×PE=

1

3

×2×4×2=

16

3

…（6分）
（2）因为PE⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PE⊥AE，在矩形ABCD中取AD的中点F，
由AB=2，CE=BE=2，得EF=

1

2

AD，
所以AE⊥ED，又ED∩AE=E，所以AE⊥平面PED，
因为AE?平面PAE，
所以，平面PAE⊥平面PDE，…（12分）

点评：本题主要考查三视图的应用，棱锥的体积公式，以及面面垂直的判定，要求熟练掌握相关的判定定理．