Question

定义：若函数f(x)对于其定义域内的某一数x₀都有f(x₀)＝x₀，则称x₀是f(x)的一个不动点．已知函数f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(Ⅰ)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；

(Ⅱ)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若y＝f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)x2－x－3＝x，化简得：x2－2x－3＝0，解得：x1＝－1，或x2＝3 　　所以所求的不动点为－1或3．　4分 　　(Ⅱ)令ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x，则ax2＋bx＋b－1＝0　① 　　由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△＝b2－4a(b－1)＞0， 　　即b2－4ab＋4a＞0恒成立，　6分 　　则b2－4ab＋4a＝(b－2a)2＋4a－4a2＞0，故4a－4a2＞0，即0＜a＜1　8分 　　(Ⅲ)设A(x1，x1)，B(x2，x2)(x1≠x2)，则kAB＝1，∴k＝－1， 　　所以y＝－x＋，　9分 　　又AB的中点在该直线上，所以＝－＋， 　　∴x1＋x2＝， 　　而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1＋x2＝－，即－＝， 　　∴　12分 　　 　　∴当a＝∈(0，1)时，bmin＝－1．　14分