Question

已知实数，函数.
（I）讨论在上的奇偶性；
（II）求函数的单调区间；
（III）求函数在闭区间上的最大值。

Answer 1

（I）当时， 为奇函数；当时，为非奇非偶函数；
（II）函数的增区间，函数的减区间；
（III）当时， 的最大值是
当时，的最大值是。

解析试题分析：（I）当时， ，因为，故为奇函数；
当时，为非奇非偶函数      2分
（II）当时，故函数的增区间       3分
当时，
故函数的增区间，函数的减区间     5分
（III）①当即时，，
当时，，的最大值是
当时，，的最大值是      7分
② 当即时，，，
，
所以，当时，的最大值是     9分
综上，当时， 的最大值是
当时，的最大值是       10分
考点：本题主要考查分段函数的奇偶性、单调性和最值问题的综合运用能力，考查数形结合、分类与整合思想。
点评：中档题，分段函数是高考考查的重点函数类型之一，在不同范围内，函数表达式不同，能有效地扩大考查知识的覆盖面。二次函数的图象和性质也是高考考查的重点。更是阶段考试的主要题型。