Question

已知F（x）=mf（x）+ng（x）+x+2对任意x∈（0，+∞）都有F（x）≤F（2）=8，且f（x）与g（x）都是奇函数，则在（-∞，0）上F（x）有（　　）

A．最大值8

B．最小值-8

C．最大值-10

D．最小值-4

Answer 1

分析：令G（x）=mf（x）+ng（x）+x，易知G（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由题意可得F（x）在（0，+∞）的最大值，从而可求得G（x）的最大值，根据对称性进而可得其在（-∞，0）
上的最小值，通过F（x）与G（x）图象关系即可求得F（x）的最小值．

解答：解：令G（x）=mf（x）+ng（x）+x，
因为f（x），x与g（x）都是奇函数，所以G（x）是奇函数，则G（x）的图象关于原点对称．
当x∈（0，+∞）时都有F（x）≤F（2）=8，即F（x）有最大值8，则G（x）有最大值6，
所以在x∈（-∞，0）时G（x）有最小值-6，
而F（x）=mf（x）+ng（x）+x+2的图象是由G（x）的图象向上平移2个单位得到，
所以F（x）在（-∞，0）有最小值-6+2=-4，
故选D．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性及其最值求法，考查奇偶函数的图象特征，考查数形结合思想，属中档题．