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    【题目】已知， .

    （1）求函数的极值；

    （2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；

    （3）求证：当时， .

    【答案】（1）， 无极大值；（2）；（3）证明见解析.

    【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；（2）由对函数求导得到函数在上单调递减， 单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；（3）问题等价于，由（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.

    试题解析：（1）

    ∴

    由得，由，得

    ∴在上单调递减，在上单调递增，

    ∴， 无极大值.

    （2）

    ∴

    又，易得在上单调递减，在上单调递增，

    要使函数在内有两个零点，

    需，即，∴，

    ∴，即的取值范围是.

    （3）问题等价于

    由（1）知的最小值为

    令（）

    ∴

    易知在上单调递增， 上单调递减

    ∴

    又

    ∴，

    故当时， 成立

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    （2）根据抽取的名学生的调查结果，完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为科类的选择与性别有关?

    选择自然科学类

    选择社会科学类

    合计

    男生

    女生

    合计

    附： ，其中.

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    (1)P(A)，P(B)，P(C).

    (2)1张奖券的中奖概率.

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    （Ⅱ）求证：平面平面；

    （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

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