Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx
（1）若1＜a＜2，求f（x）的单调区间；
（2）若1＜a＜5，证明对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，令导数小于0或大于0，解不等式即可求出单调区间；
（2）利用分析法找思路，根据斜率公式将结论转化为“函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞-1”，再转化为x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞-1，把不等式化简后，构造函数转化为恒成立问题，再由条件和二次函数的性质求出函数的最小值，化简后根据a的范围判断符号即可．

解答：解：（1）f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
由函数的解析式知，x＞0，
∵a∈（1，2），∴a-1∈（0，1）
令f′（x）＜0，得[x-（a-1）]（x-1）＜0，∴a-1＜x＜1
令f′（x）＞0，得[x-（a-1）]（x-1）＞0．∴0＜x＜a-1或x＞1
故当1＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a-1），（1，+∞）；减区间为（a-1，1）．
（2）“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞-1，
即在任一点处的切线斜率k＞-1，
即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞-1，
∴f′（x）=

x2-ax+a-1

x

＞-1，且x＞0，即x²-（a-1）x+a-1＞0在（0，+∞）恒成立，
设h（x）=x²-（a-1）x+a-1＞0，且对称轴x=

a-1

2

，
由1＜a＜5得，0＜

a-1

2

＜2，
则h（x）min=h（

a-1

2

）=（

a-1

2

）²-（a-1）（

a-1

2

）+a-1=

-(a-1)(a-5)

4

，
由1＜a＜5得，

-(a-1)(a-5)

4

＞0，
故结论得证．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，以及证明不等式转化为恒成立问题等，考查了转化思想和构造函数方法．