Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

6

．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，连接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，满足定理条件；
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，根据二面角平面角的定义知∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可．

解答：解：（1）证明：连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，
O为BD的中点，AB=2，AC=

6

，
∴AO=CO=

3

．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90^o，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE．
∴AE⊥BC．∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，
tan∠AEO=

AO

OE

=2，
∴．cos∠AEO=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值为

5

5

．

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．