Question

【题目】设函数f(x)＝|x－a|.

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；

(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

（1）利用零点分段法讨论的取值范围，去绝对值解不等式即可.

（2）根据不等式的解集求出a，再利用基本不等式即可求解.

(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.

当x≥2时，原不等式化为2x－3≥4，解得x≥，所以x≥；

当1≤x＜2时，原不等式化为1≥4，无解；

当x<1时，原不等式化为3－2x≥4，

解得x≤－，所以x≤－.

所以原不等式的解集为.

(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，

而f(x)≤1的解集是[0,2]，

所以，解得a＝1，所以＝1(m>0，n>0)．

所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋，

当且仅当m＝2n时，等号成立