Question

20、已知函数f（x）=x³-3x，x∈R，曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=g（x），设h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x₀=2，求函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）若x₀∈R，讨论函数h（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）因为是高次函数，所以用导数求得函数的切线的方程，即得g（x），从而得到h（x）
（II）先整理得到h（x）=x³-3x₀²x+2x₀³，再求导，由导数的正负来确定其单调性，要注意x₀的影响．

解答：解：（I）f′（x）=3x²-3，f（2）=2，f′（2）=9
∴切线方程为：y-2=9（x-2）
∴g（x）=9x-16
∴h（x）=x³-12x+16
（II）设曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为：y=（3x₀-3）x-2x₀³
∴g（x）=（3x₀-3）x-2x₀³
∴h（x）=x³-3x₀²x+2x₀³
∴h′（x）=3x²-3x₀²=3（x-x₀）（x+x₀）
令h′（x）=3x²-3x₀²=3（x-x₀）（x+x₀）＜0
①当x₀＞0时，h（x）在（-∞，-x₀]是增函数，在[-x₀，，x₀]是减函数，在[x₀，，+∞）是增函数；
②当x₀＜0时，h（x）在（-∞，-x₀]是增函数，在[-x₀，，x₀]是减函数，在[x₀，，+∞）是增函数；
③当x₀=0时，h（x）在（-∞，+∞）是增函数；
综上：①当x₀＞0时，h（x）的增区间是：（-∞，-x₀]，[x₀，，+∞），减区间是：[-x₀，，x₀]；
②当x₀＜0时，h（x）的增区间是：（-∞，x₀]，[-x₀，，+∞），减区间是：[x₀，，-x₀]；
③当x₀=0时，h（x）的增区间是：（-∞，+∞）．

点评：本题主要考查导数的几何意义及用导数法研究函数的单调性，由于参数的存在，增大了题目的难度，应注意分类讨论．