Question

设不等式组

x+y＞0 x-y＞0

表示的平面区域为D、区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为1．记点P的轨迹为曲线C、
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F（2，0）的直线与曲线C交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）动点P（x，y），根据题意可知

|x+y|

2

×

|x-y|

2

=1，整理得|x²-y²|=2．根据P∈D推断出x+y＞0，x-y＞0，进而可得x²-y²＞0，答案可得．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而可得以线段AB为直径的圆的圆心Q的坐标，根据以线段AB为直径的圆与y轴相切，推断r=

1

2

|AB|=

x1+x2

2

．进而根据双曲线定义得|AB|=|AF|+|BF|，进而求得x₁+x₂的值，求得线段AB的长．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，平面区域D如图阴影所示．

设动点P（x，y），则

|x+y|

2

×

|x-y|

2

=1，
即|x²-y²|=2．
∵P∈D、
∴x+y＞0，x-y＞0，即x²-y²＞0．
∴x²-y²=2（x＞0）．
即曲线C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0）．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴以线段AB为直径的圆的圆心Q（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∵以线段AB为直径的圆与y轴相切，
∴半径r=

1

2

|AB|=

x1+x2

2

．
即|AB|=x₁+x₂．①
∵曲线C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0），
∴F（2，0）为其焦点，相应的准线方程为x=1，离心率e=

2

．
根据双曲线的定义可得，

|AF|

x1-1

=

|BF|

x2-1

=

2

，
∴|AB|=|AF|+|BF|=

2

（x₁-1）+

2

（x₂-1）=

2

（x₁+x₂）-2

2

．②
由①，②可得，x₁+x₂=

2

（x₁+x₂）-2

2

．
由此可得x₁+x₂=4+2

2

．
∴线段AB的长为4+2

2

．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与双曲线的关系．考查了学生综合分析问题和运算能力．