Question

【题目】若函数对定义域中任意x均满足，则称函数的图象关于点对称．

（1）已知函数的图象关于点对称，求实数m的值；

（2）已知函数在上的图象关于点对称，且当时，，求函数在上的解析式；

（3）在（1）（2）的条件下，当时，若对任意实数，恒有成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题本题主要考查函数的对称性、函数的解析式、函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用已知，则说明的图象关于点对称，则，代入解析式，解出m的值；第二问，由第一问知，因为，所以，通过转化，将代入已知解析式中，整理出的值，最后代入到中，得到解析式；第三问，将对任意实数，恒有成立，转化为，通过第一问可得到的解析式，再利用分离常数法、基本不等式求出的最小值3，将的表达式配方，数形结合证明即可.

试题解析：（1）由题设可得，

即，解得.

（2）当时，且，

∴.

（3）由(1)得，

其最小值为.

，

①当，即时，，

得；

②当，即时，，

得；

由①②得．