Question

设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，且f（1）=2
（1）求f（0），f（-1）的值
（2）求证：f（x）是奇函数
（3）试问在-2≤x≤4时，f（x）是否有最值；如果没有，说出理由．

Answer 1

解（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y=0
则f（0）=2f（0），
所以f（0）=0，
令x=1，y=-1，由f（1）=2得
f（0）=f（-1）+f（1）=f（-1）+2=0
解得f（-1）=-2
（2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x）
故f（x）是奇函数
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．?f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上为增函数．
∴y=f（x）在[-2，4]上为减函数，f（-2）为函数的最小值，f（4）为函数的最大值．
又f（4）=2f（2）=4f（1）=8，
f（-2）=2f（-1）=-4
∴函数最大值为8，最小值为-4
分析：（1）利用赋值法，令x=0，y=0即可求得f（0）的值，令x=1，y=-1，即可求得f（-1）的值；
（2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y），结合函数奇偶性定义，即可得证；
（3）利用单调性的定义结合已知可证得y=f（x）在R上为增函数，可知y=f（x）在[-2，4]上为减函数，从而可求得其最大值与最小值．
点评：本题考查抽象函数及其应用，关键在于灵活应用（正用与逆用）函数的奇偶性与单调性进行证明与求最值，属于中档题．