Question

【题目】已知椭圆 的离心率 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知椭圆 与直线 相交于不同的两点 ，且线段 的中点不在圆 内，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知 解得 又 ， ．

故椭圆的方程为

（2）解：联立得 消去 可得

则 ．

设 ，则 则

∴ 中点坐标为 ，

因为 的中点不在圆 内，

所以 或 ，

综上，可知 或

【解析】(1)由离心率的公式代入数值求出a与c的值，代入到椭圆里a2=b2+c2求出a、b的值进而得出椭圆的方程。(2)联立直线和椭圆的方程消元得到关于x的一元二次函数再由椭圆 C 与直线相交于不同的两点 M , N，故判别式大于零得出m的取值范围，再结合韦达定理求出两根之和与两根之积的关于m的代数式，再借助中点的坐标公式以及该中点不在圆上代入坐标可得，关于m的不等式解出结果即可。