Question

如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分别交AB，AC，A₁B，A₁C于点D，E，D₁，E₁．
（1）讨论这三条交线ED，CB，E₁ D₁的关系．
（2）当BC∥平面DEE₁D₁时，求

AD

DB

•

BD1

D1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

的值；
（3）当BC不平行平面DEE₁D₁时，

AD

DB

•

BD1

D1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

的值变化吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的性质及平行线的性质，及公理2可得结论；
（2）利用线面平行的性质及平行线的性质可得结论；
（3）利用平行线的性质，考查比例式，化简可得结论．

解答：解：（1）互相平行或三线共点．
当BC∥平面DEE₁D₁时，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED
∴BC∥ED，
同理CB∥E₁ D₁，∴ED∥CB∥E₁ D₁
当BC不平行平面DEE₁D₁时，延长ED、CB交于点H，
∴H∈EF
∵EF?平面DEE₁D₁，∴H∈平面DEE₁D₁
同理H∈平面A₁BC
∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC
即H∈E₁D₁
∴E₁、D₁、H三点共线，∴三线共点
（2）∵BC∥平面DEE₁D₁，且BC?平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED
∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁
在△ABC中，BC∥ED，∴

AD

DB

=

AE

EC

同理可得

BD1

D1A1

=

CE1

E1A1

∴

AD

DB

•

BD1

D1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

=

AE

EC

•

CE1

E1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

=1
（3）由（1）可得，延长ED、CB、E₁D₁交于点H，过点B作BF∥AC，BG∥A₁C
∵BF∥AC，∴

AD

DB

=

AE

BF

同理可得

BD1

D1A1

=

BG

E1A1

在△HCE中，BG∥CE₁，∴

BG

CE1

=

HB

HC

同理可得

FB

EC

=

HB

HC

∴

AD

DB

•

BD1

D1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

=

AE

BF

•

BG

E1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

=

BG

CE1

×

EC

FB

=

HB

HC

×

HC

HB

=1
∴

AD

DB

•

BD1

D1A1

•

A1E1

E1C

•

CE

EA

的值不变化，仍为1

点评：本题考查线面平行，考查平行线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．