Question

已知椭圆=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F₁(-c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足||=2a.点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足=0,||≠0.

(1)设x为点P的横坐标，证明||=a+；

(2)求点T的轨迹C的方程.

Answer 1

思路解析：本题主要考查平面向量、椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力，其中数形结合是解析几何解决问题的常用方法.

(1)证明：设点P的坐标为(x,y),

由P(x,y)在椭圆上，得||=

=.

由x≥-a，知a+≥-c+a＞0.所以||=a+.

(2)解：设点T的坐标为(x,y),

当||=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上.

当||≠0且||≠0时，

由||·||=0，得⊥.

又||=||，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，||=||=a，所以有x²+y²=a².

综上所述，点T的轨迹方程是x²+y²=a².

方法归纳  求轨迹时可以从两个方面来解:设动点的坐标，利用题目给出的条件整理得出方程；观察曲线的几何特征，直接由曲线的定义得出.