Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，线段B₁A₁，B₁C₁上（不包括端点）各有一点P，Q，且B₁P=B₁Q，下列说法中，不正确的是（　　）

• A、A，C，P，Q四点共面
• B、直线PQ与平面BCC₁B₁所成的角为定值
• C、

  π

  3

  ＜∠PAC＜

  π

  2

• D、设二面角P-AC-B的大小为θ，则tanθ的最小值为

  2

Answer 1

分析：利用平面的基本性质判断A的正误；直线与平面所成角判断B是正误；通过特例判断C的正误；通过二面角的大小求解判断D的正误．

解答：解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，线段B₁A₁，B₁C₁上（不包括端点）各有一点P，Q，且B₁P=B₁Q，如图：
当PQ连线与AC平行时，A，C，P，Q四点共面，
∴A不正确；
直线PQ与平面BCC₁B₁所成的角为定值，显然不正确，P在平面BCC₁B₁的射影是B₁，Q如果是定点，直线PQ与平面BCC₁B₁所成的角为变值，∴B不正确；
对于C，当P在A₁B₁ 的中点时，不妨设作法的棱长为2，cos∠PAC=

5+5-(2 3 )2

2• 5 5

＜0，∠PAC是钝角，∴

π

3

＜∠PAC＜

π

2

不正确；
对于D，作PE⊥AB于E，过E作EF⊥AC于F，θ=∠PFE，则tanθ的最小值时EF最大，此时P在B₁，tanθ=

2

，
∴D正确．
故选：D．

点评：本题考查正方体中的直线与平面的位置关系，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．