Question

设函数f（x）=x²-ax+2lnx，其中a＞0
（1）当a＜4时，判断函数f（x）的单调性；
（2）当a=5时，求函数f（x）的极值；
（3）证明：当x≥1时，x²+2lnx≥3x-2．

Answer 1

分析：（1）求出导数f′（x），当a＜4时，判断出f′（x）符号即可．
（2）当a=5时，先解f′（x）=0，再判断根左右两侧导数的符号变化，由此即可得出答案．
（3）当x≥1时，x²+2lnx≥3x-2可变为x²+2lnx-3x≥-2，从而问题可转化为求当a=3时f（x）在[1，+∞）的最小值问题．

解答：解：定义域为：（0，+∞），
（1）f′(x)=2x-a+

2

x

．
因为x＞0，所以2x+

2

x

≥2

2x• 2 x

=4，
又a＜4，所以f'（x）＞0，
故当a＜4时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）当a=5时，f′（x）=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

(2x-1)(x-2)

x

，
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=2．
当x∈(0，

1

2

)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈(

1

2

，2)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
由上可知，当x=

1

2

时，f（x）取极大值f（

1

2

）=-

9

4

-2ln2；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2ln2-6．
（3）即证：当x≥1时，x²+2lnx-3x≥-2，
由（1）知，当a=3时，f（x）=x²+2lnx-3x在（0，+∞）上是增函数，
仅当x=1时，f（x）在区间[1，+∞）上有最小值f（1）=-2，所以当x≥1时，x²+2lnx-3x≥-2成立，
即x²+2lnx≥3x-2．

点评：本题考查了导数的综合应用：用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，要深刻理解导数在研究函数中的作用．