Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．

Answer 1

分析：设直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0，设直线l与抛物线两个不同的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），导出|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

8p(p+2a)

，由|AB|≤2p．能求出a的取值范围．

解答：解：设直线l的方程为y=x-a，
将y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0，
设直线l与抛物线两个不同的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2

，
∵y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

，
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴0＜

8p(p+2a)

≤2p，
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

．

点评：本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用．