精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知函数.

(1)当时,求证:

(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)若,证明.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.

【解析】

1)当时,,根据导数可得函数的最小值为,从而可得结论成立;(2)由条件得,令,则.然后分为两种情况进行讨论,可得所求范围.(3)由(2)得当时,.故要证不等式成立,只需证,只需证明,只需证 ,然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立.

(1)当时,

时,;当时,

上单调递减,在上单调递增,

.

(2)由条件得

,则.

①当时,在上,单调递增,

,即

上为增函数,

时满足条件.

②当时,令,解得,在上,单调递减,

∴当时,有,即

上为减函数,

,不合题意.

综上实数的取值范围为

(3)由(2)得,当时,,即

要证不等式

只需证明

只需证明

只需证

∴当时,恒成立,故上单调递增,

恒成立.

∴原不等式成立.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子.

1)求他们抛掷点数相同的概率;

2)求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】定义:曲线称为椭圆倒椭圆.已知椭圆,它的倒椭圆

1)写出倒椭圆的一条对称轴、一个对称中心;并写出其上动点横坐标x的取值范围.

2)过倒椭圆上的点P,作直线PA垂直于x轴且垂足为点A,作直线PB垂直于y轴且垂足为点B,求证:直线AB与椭圆只有一个公共点.

3)是否存在直线l与椭圆无公共点,且与倒椭圆无公共点?若存在,请给出满足条件的直线l,并说明理由;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】过圆锥轴的截面为等腰直角三角形为底面圆周上一点,已知,圆锥体积为,点为底面圆的圆心

1)求该圆锥的全面积

2)求异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示)

3)求点到平面的距离

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】下列命题中正确命题的个数是( )

①命题“函数的最小值不为”是假命题;

②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题,则均为假命题;

④若命题,则

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知复数满足的虚部为2

1)求复数

2)设在复平面上对应点分别为,求的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,四棱锥的底面为直角梯形,,且

为等边三角形,平面平面;点分别为的中点.

(1)证明:平面

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知数列是等差数列,且公差,首项,且的等比中项.

(1)求数列的通项公式;

(2),求数列的前项和

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在四边形ABED中,AB//DE,ABBE,点C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE.

(1)求证:平面PBC 平面DEBC;

(2)求三棱锥P-EBC的体积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案