【题目】已知函数.
(1)当时,求证:;
(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,证明.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
(1)当时,,根据导数可得函数的最小值为,从而可得结论成立;(2)由条件得,令,则.然后分为和两种情况进行讨论,可得所求范围.(3)由(2)得当,时,.故要证不等式成立,只需证,只需证明,只需证 ,然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立.
(1)当时,,
∴,
当时,;当时,
故在上单调递减,在上单调递增,
∴,
∴.
(2)由条件得,
令,则.
①当时,在上,,单调递增,
∴,即,
∴在上为增函数,
∴,
∴时满足条件.
②当时,令,解得,在上,,单调递减,
∴当时,有,即 ,
∴在上为减函数,
∴,不合题意.
综上实数的取值范围为.
(3)由(2)得,当,时,,即,
要证不等式,
只需证明,
只需证明,
只需证 ,
设,
则,
∴当时,恒成立,故在上单调递增,
又,
∴恒成立.
∴原不等式成立.
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【题目】定义:曲线称为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆,它的“倒椭圆”.
(1)写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心;并写出其上动点横坐标x的取值范围.
(2)过“倒椭圆”上的点P,作直线PA垂直于x轴且垂足为点A,作直线PB垂直于y轴且垂足为点B,求证:直线AB与椭圆只有一个公共点.
(3)是否存在直线l与椭圆无公共点,且与“倒椭圆”无公共点?若存在,请给出满足条件的直线l,并说明理由;若不存在,请说明理由.
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【题目】过圆锥轴的截面为等腰直角三角形,为底面圆周上一点,已知,圆锥体积为,点为底面圆的圆心
(1)求该圆锥的全面积
(2)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(3)求点到平面的距离
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( )
①命题“函数的最小值不为”是假命题;
②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题,则, 均为假命题;
④若命题: , ,则: , ;
A. B. C. D.
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【题目】如图,在四边形ABED中,AB//DE,ABBE,点C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE.
(1)求证:平面PBC 平面DEBC;
(2)求三棱锥P-EBC的体积.
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