Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

（1）当时，，根据导数可得函数的最小值为，从而可得结论成立；（2）由条件得，令，则．然后分为和两种情况进行讨论，可得所求范围．（3）由（2）得当，时，．故要证不等式成立，只需证，只需证明，只需证 ，然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立．

（1）当时，，

∴，

当时，；当时，

故在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴.

（2）由条件得，

令，则.

①当时，在上，，单调递增，

∴，即，

∴在上为增函数，

∴，

∴时满足条件.

②当时，令，解得，在上，，单调递减，

∴当时，有，即 ，

∴在上为减函数，

∴，不合题意.

综上实数的取值范围为．

（3）由（2）得，当，时，，即，

要证不等式，

只需证明，

只需证明，

只需证 ，

设，

则，

∴当时，恒成立，故在上单调递增，

又，

∴恒成立．

∴原不等式成立．