Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）已知bn=2n，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（1）在所给的等式中，令n=1时，即可求得a₁的值．
（2）由4s_n=a_n²+2a_n-3①，可得 4s_n-1=

a

2 n-1

+2a_n-3 （n≥2）②，①-②化简可得a_n-a_n-1=2（n≥2），即数列{a_n}是以3为首项，2为公差之等差数列，由此求得通项公式．
（3）由b_n=2ⁿ，可得Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)•2n+0，用错位相减法求得它的值．

解答：解：（1）当n=1时，由条件可得 a1=s1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，解出a₁=3．
（2）又4s_n=a_n²+2a_n-3①，可得 4s_n-1=

a

2 n-1

+2a_n-3 （n≥2）②，
①-②4a_n=a_n²-

a

2 n-1

+2a_n-2a_n-1 ，即

a

2 n

-

a

2 n-1

-2(an+an-1)=0，
∴(

a

n

+an-1)(an-an-1-2)=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差之等差数列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（3）由b_n=2ⁿ，可得Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)•2n+0③，
∴2Tn=0+3×22+…+(2n-1)•2n+(2n+1)2n+1 ④，
④-③可得 Tn=-3×21-2(22+23+…+2n)+(2n+1)2n+1=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2．

点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差关系的确定，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．