Question

已知直线AB过x轴上一点A(2,0)且与抛物线y＝ax²相交于B(1，－1)、C两点.

(1)求直线和抛物线对应的函数解析式.

(2)问抛物线上是否存在一点D，使S_△OAD＝S_△OBC？若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)设直线对应的函数解析式为y＝kx＋b，由题知，直线过点A(2,0)，B(1，－1)，

∴，解得k＝1，b＝－2.

∴直线的解析式为y＝x－2，

又抛物线y＝ax²过点B(1，－1)，∴a＝－1.

∴抛物线的解析式为y＝－x².

(2)直线与抛物线相交于B、C两点，故由方程组，解得B、C两点坐标为B(1，－1)，C(－2，－4).由图象可知，S_△OBC＝S_△OAC－S_△OAB＝×|－4|×2－×|－1|×2＝3.假设抛物线上存在一点D，使S_△OAD＝S_△OBC，可设D(t，－t²)，∴S_△OAD＝×2×t²＝t²，

∴t²＝3，∴t＝或t＝－.

即存在这样的点D(，－3)或(－，－3).