【题目】已知点
，
，C是抛物线
上的动点.
（1）求
周长的最小值；
（2）若C位于直线AB右下方，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）过
作抛物线准线
的垂线，垂足为
，根据抛物线的定义可知
，那么
周长即为
，
为定值，则
共线时周长最小，即得；（2）作与直线
平行的直线
，到直线的距离就是边上的高，且点在抛物线上，则当与抛物线相切时，面积的最大，设点
，由抛物线在点处的切线斜率与直线的斜率相同，可得
，即得点坐标，利用点到直线的距离公式，以及边的长度，由公式计算即得.
（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图1所示，
为抛物线焦点，
，又
为常数，
共线时，周长最小，
，
周长最小值为.
（2）作与直线平行的直线，如图
所示，
当与抛物线相切时，切点使得面积最大，此时到直线的距离就是边上的高，设切点，由
得
，
，即
，
切点的坐标为
，点到的距离为
，
的最大值为
，即面积最大值为.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知盒子中装有红色、蓝色纸牌各100张，每种颜色纸牌均含标数为
的纸牌各一张，两种颜色纸牌的标数总和记为
.
对于给定的正整数
，若能从盒子中取出若干张纸牌，使其标数之和恰为，则称其为一种取牌“n—方案”.记不同的n—方案种数为
.试求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A.234B.152C.126D.108
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【题目】已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：
）（
）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①
，②
，经多次检验得到以下一组数据：
x | 0 | 40 | 60 | 120 |
Q | 0 |
|
| 20 |
（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若实数
满足
，则称
为
的不动点.已知函数
，其中，
、
为常数。
（1）若
，求函数的单调递增区间；
（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；
（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取
名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
| 5 |
|
第2组 |
| ① |
|
第3组 |
| 30 | ② |
第4组 |
| 20 |
|
第5组 |
| 10 |
|
（1）请先求出频率分布表中
位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第
组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在
名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试，求：第
组至少有一名学生被考官面试的概率．
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