Question

在△ABC中，A、B为定点，C为动点，记∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知c=2，且存在常数λ
（λ＞0），使得abcos2

C

2

=λ．
（1）求动点C的轨迹，并求其标准方程；
（2）设点O为坐标原点，过点B作直线l与（1）中的曲线交于M，N两点，若OM⊥ON，试确定λ的范围．

Answer 1

分析：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，|a+b|=

4+2ab(1+cosC)

=2

1+abcos2 C 2

=2

1+λ

＞2，故点P的轨迹C是以A，B为焦点，长轴长2a=2

1+λ

的椭圆，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，由题意，

1

1+λ

+

1

λ

=1?λ=

1± 5

2

，由λ＞0，得λ=

1+ 5

2

．当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．由

x2 1+λ + y2 λ =1 y=k(x-1)

得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，由题意知：λ+（1+λ）k²＞0，再由韦达定理能导出0＜λ＜

1+ 5

2

．由此可知0＜λ≤

1+ 5

2

．

解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，|a+b|=

4+2ab(1+cosC)

=2

1+abcos2 C 2

=2

1+λ

＞2，
所以，点P的轨迹C是以A，B为焦点，长轴长2a=2

1+λ

的椭圆．（除去长轴上的顶点）
如图，以A、B所在的直线为x轴，以A、B的中点为坐标原点建立直角坐标系．
则，A（-1，0）和B（1，0）．
椭圆C的标准方程为：

x2

1+λ

+

y2

λ

=1（y≠0）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，由题意，有M（1，1），N（1，-1）在椭圆上．
即

1

1+λ

+

1

λ

=1?λ=

1± 5

2

，由λ＞0，得λ=

1+ 5

2

．
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．
由

x2 1+λ + y2 λ =1 y=k(x-1)

得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，
由题意知：λ+（1+λ）k²＞0，
所以x1+x2=

2(1+λ)k2

λ+(1+λ)k2

，x1•x2=

(1+λ)(k2-λ)

λ+(1+λ)k2

．
于是：y1•y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

-λ2k2

λ+(1+λ)k2

．
因为OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，
所以x1•x2+y1•y2=

(1+λ-λ2)k2-λ2-λ

λ+(1+λ)k2

=0，
所以，k2=

λ2+λ

1+λ-λ2

≥0，
由λ＞0得1+λ-λ²＞0，解得0＜λ＜

1+ 5

2

．
综合①②得：0＜λ≤

1+ 5

2

．

点评：本题考动点C的轨迹方程和确定λ的范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理和椭圆性质的应用．