Question

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，

OP

的坐标为

 

．
（2）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，则

AM

•

AN

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）由题意点P旋转了2弧度，进而可得P的坐标，即可得向量

OP

的坐标；
（2）建立坐标系，设N（x，1）（0≤x≤2），由题意可得

AN

，

AM

的坐标，进而可得其数量积，可得范围．

解答：解：（1）根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了

2

1

=2弧度，
此时点P的坐标为：xP=2-cos(2-

π

2

)=2-sin2，yP=1+sin(2-

π

2

)=1-cos2．
∴

OP

=(2-sin2， 1-cos2)．
（2）如图所示，以A为原点，向量

AB

所在直线为x轴，过AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，
∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）．
设N（x，1）（0≤x≤2），则|

BC

|=1，|

CN

|=2-x，|

CD

|=2．
∴由

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

得，|

BM

|=1-

1

2

x．
∴M的坐标为(2， 1-

1

2

x)．
∴

AN

=(x， 1)， 

AM

=(2， 1-

1

2

x)．
∴

AN

•

AM

=2x+1-

1

2

x=

3

2

x+1．
∵0≤x≤2，∴1≤

3

2

x+1≤4．
∴

AN

•

AM

的取值范围是[1，4]．
故答案为：（2-sin2，1-cos2）；[1，4]

点评：本题考查向量的应用，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．