Question

已知等比数列{a_n}中，a1+a3=10，a4+a6=

5

4

(n∈N*).
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试比较

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

与2lg2的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出公比和首项，根据所给的两个式子列出关于公比和首项的方程组，解方程组求出公比和首项，写出要求的等比数列的通项公式，解方程组时用两式相除，这是等比数列特殊的地方．
（2）要比较两个式子的大小关系，一般采用做差法，比较差和零的关系，根据上式求出的通项和对数的性质，整理变化，构造新函数，新函数的最大值小于等于零，得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，则根据条件得

a1+a1q2=10 a1q3+a1q5= 5 4 .

即

a1(1+q2) =10① a1q3(1+q2) = 5 4 ②

②÷①得q3=

1

8

，所以q=

1

2

.
代入①解得a₁=8．
∴an=a1qn-1=8•(

1

2

)n-1)=(

1

2

)n-4.
（Ⅱ）∵

lgan+1+lgan+2++lga2n

n2

-2lg2
=

(n-3)lg 1 2 +(n-2)lg 1 2 ++(2n-4)lg 1 2

n2

-2lg2
=

(n-3)+(n-2)++(2n-4)

n2

lg

1

2

-2lg2
=

n[(n-3)+(2n-4)]

2n2

lg

1

2

-2lg2
=(

3

2

-

7

2n

)lg

1

2

-2lg2=-

3

2

lg2+

7

2n

lg2-2lg2=

7

2n

lg2-

7

2

lg2=

7

2

(

1

n

-1)lg2，
设g(n)=

7

2

(

1

n

-1)lg2，
∵g（n）是关于n的减函数，
∴g（n）≤g（n）|_max=g（1）（n∈N^*）．
即

7

2

(

1

n

-1)lg2≤

7

2

(

1

n

-1)lg2|max=

7

2

(

1

1

-1)lg2=0.
∴

lgan+1+lgan+2++lga2n

n2

≤2lg2.

点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度．