Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且

AF2

+5

BF2

=

0

．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF₂的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF₁并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁、k₂，试问是否存在常数λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

AF2

+5

BF2

=

0

，得

AF2

=5

F2B

，从而有a+c=5（a-c），结合离心率定义即可求得答案；
（2）由点D（1，0）为线段OF₂的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则直线MD的方程为x=

x1-1

y1

y+1，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F₁、N共线及斜率公式可得k₁、k₂间的关系式，由此可得答案．

解答：解：（1）∵

AF2

+5

BF2

=

0

，∴

AF2

=5

F2B

．
∴a+c=5（a-c），化简得2a=3c，
故椭圆E的离心率为

2

3

．
（2）存在满足条件的常数λ，λ=-

4

7

．
∵点D（1，0）为线段OF₂的中点，∴c=2，从而a=3，b=

5

，
左焦点F₁（-2，0），椭圆E的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则直线MD的方程为x=

x1-1

y1

y+1，
代入椭圆方程

x2

9

+

y2

5

=1，整理得，

5-x1

y12

y2+

x1-1

y1

y-4=0．
∵y1+y3=

y1(x1-1)

x1-5

，∴y3=

4y1

x1-5

．
从而x3=

5x1-9

x1-5

，故点P(

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

)．同理，点Q(

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

)．
∵三点M、F₁、N共线，∴

y1

x1+2

=

y2

x2+2

，从而x₁y₂-x₂y₁=2（y₁-y₂）．
从而k2=

y3-y4

x3-x4

=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

x1y2-x2y1+5(y1-y2)

4(x1-x2)

=

7(y1-y2)

4(x1-x2)

=

7k1

4

．
故k1-

4k2

7

=0，从而存在满足条件的常数λ，λ=-

4

7

．

点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题．