Question

有一种变压器铁芯的截面呈如图所示的正十字形，为保证所需的磁通量，要求正十字形的面积为4

5

cm²，为了使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短，应如何设计 正十字形的长（如DG），和宽（如AB）？

Answer 1

分析：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，则4R²=x²+y²，由已知条件有2xy-x²=4

5

，所以y=

x2+4 5

2x

．从而得到4R²=x²+

x4+8 5 x2+80

4x2

=

5

4

x2+

20

x2

+2

5

≥2

5 4 x2• 20 x2

+2

5

=10+2

5

．由此能够求出正十字形外接圆周长最短，应如何设计正十字形的长和宽．

解答：解：设外接圆半径为R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，
则4R²=x²+y²，①
由已知条件有2xy-x²=4

5

，
∴y=

x2+4 5

2x

②．
②代入①得4R²=x²+

x4+8 5 x2+80

4x2

．
∴4R²=

5

4

x2+

20

x2

+2

5

≥2

5 4 x2• 20 x2

+2

5

=10+2

5

．
当且仅当

5

4

x2=

20

x2

，
即x=2时，等号成立．
把代x=2入②得y=1+

5

，
∴当 x=2 且y=1+

5

时，
4R²有最小值，
此时正十字形外接圆周长最短．
答：正十字形的长和宽分别为（1+

5

）cm和2cm时，用来绕铁芯的铜线最省．

点评：本题考查函数问题在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错点．解题时要认真审题，注意均值定理的灵活运用．