Question

病人按规定的剂量服用某药物，测得服药后，每毫升血液中含药量y=Ma^x（毫克）与时间y=Ma^x（小时）满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y=Ma^x（M，a为常数）衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）已知每毫升血液中含药量不低于0.5毫克时有治疗效果，低于0.5毫克时无治疗效果．求病人一次服药后的有效治疗时间为多少小时？

Answer 1

分析：（1）当0≤x≤1时，设y=kx，又过（1，4）点，知y=4x；当x＞1时，y=Ma^x，又过（1，4）、（2，2）点，知y=8(

1

2

)x=23-x．由此能求出函数y=f（x）的解析式．
（2）当f（x）≥

1

2

时，为有效治疗，当0≤x≤1时，由4x≥

1

2

，解得

1

8

≤x≤1；当x＞1时，2^3-x≥

1

2

，解得1＜x≤4.4-

1

8

=

31

8

．由此能求出病人一次服药后的有效治疗时间．

解答：解：（1）当0≤x≤1时，y与x成正比例，设为y=kx，
又过（1，4）点，∴k=4，
∴y=4x，…（2分）
当x＞1时，y=Ma^x，又过（1，4）、（2，2）点，
∴

Ma1=4 Ma2=2

，解得

M=8 a= 1 2

，
∴y=8(

1

2

)x=23-x．…（6分）
∴y=f（x）=

4x，0≤x≤1 23-x，x＞1

．…（8分）
（2）当f（x）≥

1

2

时，为有效治疗，
当0≤x≤1时，由4x≥

1

2

，解得

1

8

≤x≤1；
当x＞1时，2^3-x≥

1

2

，解得1＜x≤4．
4-

1

8

=

31

8

．
∴当

1

8

≤x≤4时，有治疗效果．
所以有效治疗时间为

31

8

小时．…（14分）

点评：本题考查函数在生产生活中的实数据应用，解题时要认真审题，注意分析题设中的数量关系，合理地进行等价转化．