Question

【题目】已知椭圆：过点与点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）把两点的坐标代入椭圆的方程，求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设直线AB的方程为，联立方程组，由，即，以及根与系数的关系，得到线段AB的中点坐标，代入直线方程方程，求得，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式，得到的表达式，即可求解.

（1）由题意，可得，解得，所以椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线AB的方程为，

由，整理得，

所以，即，……….①

且，

所以线段AB的中点横坐标，纵坐标为，

将代入直线方程，可得 ……… ②，

由①②可得，又，所以，

又，

且原点O到直线AB的距离，

所以，

所以时，最大值，此时，

所以时，最大值.