Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直线l： （其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2 ， 得
x2+（y﹣2）2=4；
（Ⅱ）由x2+（y﹣2）2=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，
则圆心到直线的距离为：d= =3 ，
而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），
所以点P到直线l的距离最小值为3 ﹣2．
【解析】（Ⅰ）消去参数t即可得到直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C转化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．