Question

已知如图，平行四边形中，，，，正方形所在平面与平面垂直，分别是的中点。

⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成的二面角的正弦值。

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）证明线面平行，一般可考虑线面平行的判定定理，构造面外线平行于面内线，其手段一般是构造平行四边形，或构造三角形中位线(特别是有中点时)，由此本题即要证明的中点也是的中点，于是只要证明四边形是平行四边形，此较为容易；（2）求二面角一般分为三个步骤：作出二面角的平面角，证明此角是二面角的平面角，利用解三角形知识求出二面角的三角函数值，也可建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量的夹角，根进一步判断二面角的大小.
试题解析：⑴证明;，,且,
四边形是平行四边形，为的中点，又是的中点
,平面平面,
平面                       4分
⑵（解法1）过点作于，易知为中点，连结.
易知，平面，,
是平面与平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面与平面所成的二面角的正弦值为.          12分
（解法2）以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,    6分
,
设平面的法向量由，得，
令，又平面的法向量为,      9分
设平面与平面所成的二面角为，则，

即平面与平面所成的二面角的正弦值为.          12分