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某工厂有120名工人,其年龄都在20~60岁之间,各年龄段人数按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组,其频率分布直方图如右图所示,工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备,要求每个工人都要参加A、B两项培训,培训结束后进行结业考试,已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示,假设两项培训是相互独立的,结业考试也互不影响.
年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数
[20,30)3018
[30,40)3624
[40,50)129
[50,60]43
(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本,求各年龄段应分别抽取的人数,并估计全厂工人的平均年龄;
(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】分析:(1)由题意及频率分布直方图可知:各年龄段的人数20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的分别为:0.035×10×120=42,0.040×10×120=48,0.015×10×120=18,0.01×10×120=12,利用分层抽样方法得:每一个年龄段内应抽的人数分别为:,有所给的频率分布直方图可知全厂工人的平均年龄为:25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35即为所求;
(2)有表可知:从[20,30]年龄段抽一人,该人是A项目培训结业考试成绩优秀的概率为:,该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为:所以改年龄段抽取的一人两个项目都优秀的概率为:,从年龄段[30,40]抽一人,该人A项目结业考试成绩优秀的概率为:,该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为:,所以在该年龄段内任抽一名两个项目都优秀的概率为:,由题意随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X的可能只为0,1,2,利用分布列定义及期望定义即可求得.
解答:解:(1)由题意及频率分布直方图可知:
各年龄段的人数20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的分别为:0.035×10×120=42,0.040×10×120=48,0.015×10×120=18,0.01×10×120=12,
若要从120人中抽取40人则利用分层抽样可知每一个年龄段内应抽的人数分别为:
所以每一段在抽取的40个人的样本中个年龄段应分别抽取的人数分别为:14,16,6,4;
有所给的频率分布直方图可知全厂工人的平均年龄为:25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35,
有图估计全场工人的平均年龄为35岁;
(2)因为年龄段在[20,30)和[30,40)中的人数分别为:42人,48人,若随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,则概率分别为为:
随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,,有表可知:从[20,30]年龄段抽一人,该人是A项目培训结业考试成绩优秀的概率为:,该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为,所以改年龄段抽取的一人两个项目都优秀的概率为:;从年龄段[30,40]抽一人,该人A项目结业考试成绩优秀的概率为:,该人B项目培训结业考试成绩优秀的概率为:,所以在该年龄段内任抽一名两个项目都优秀的概率为:
由题意随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X的可能只为0,1,2,
每一个值下对应的概率为:P(X=0)=
                        P(X=1)=
                         P(X=2)=
所以X的分布列为:

利用随机变量的期望公式得:EX=
点评:此题考查了平率分布直方图,分层抽样,有直方图估计平均值,独立事件都发生的概率公式,随机变量的分布列,期望,还考查了学生的理解与计算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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年龄分组 A项培训成绩优秀人数 B项培训成绩优秀人数
[20,30) 30 18
[30,40) 36 24
[40,50) 12 9
[50,60] 4 3
(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本,求各年龄段应分别抽取的人数,并估计全厂工人的平均年龄;
(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望.

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某工厂有120名工人,其年龄都在20~60岁之间,各年龄段人数按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组,其频率分布直方图如右图所示,工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备,要求每个工人都要参加A、B两项培训,培训结束后进行结业考试,已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示,假设两项培训是相互独立的,结业考试也互不影响.
年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数
[20,30)3018
[30,40)3624
[40,50)129
[50,60]43
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年龄分组

A项培训成绩优秀人数

B项培训成绩优秀人数

[20,30)

30

18

[30,40)

36

24

[40,50)

12

9

[50,60]

4

3

(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本,求各年龄段应分别抽取的人数,并估计全厂工人的平均年龄;

(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)中各抽取1人,求这两人中至少有一人在A、B两项培训结业考试成绩为优秀的概率。

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A项培训成绩优秀人数

B项培训成绩优秀人数

[20,30)

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[30,40)

36

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[40,50)

12

9

[50,60]

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3

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年龄分组

A项培训成绩优秀人数

B项培训成绩优秀人数

[20,30)

30

18

[30,40)

36

24

[40,50)

12

9

[50,60]

4

3

(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本,求各年龄段应分别抽取的人数,并估计全厂工人的平均年龄;

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