Question

【题目】设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值
（2）已知f（1）= ，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域；
（3）在第（2）问的条件下，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λf（x）对任意x∈[﹣ ， ]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．

∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得：k=1，

故得函数f（x）=ax﹣a﹣x

（2）解：∵f（1）= ，

可得f（1）= = ，

解得：a=4或a= ，

∵a＞0，

故得：a=4．

∴函数f（x）=4x﹣4﹣x

∵函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，

∴g（x）=42x+4﹣2x﹣2（4x﹣4﹣x）=（4x﹣4﹣x）2﹣2（4x﹣4﹣x）+2

令t=4x﹣4﹣x，

∵x∈[0，1]，由（1）知t=f（x）在[0，1]上为增函数，

∴t∈[0， ]．

那么：g（x）=（4x﹣4﹣x）2﹣2（4x﹣4﹣x）+2转化为h（t）=t2﹣2t+2，

函数h（t）图象开口向上，对称轴t=1，

∴当 时，h（t）有最大值 ；即函数g（x）最大值为 ．

当t=1时，h（t）有最小值1，即函数g（x）最小值为1．

∴函数g（x）的值域为[1， ]

（3）解：由（2）可得f（2x）=42x﹣4﹣2x=（4x+4﹣x）（4x﹣4﹣x）

∵f（2x）≥λf（x），即为（4x+4﹣x）（4x﹣4﹣x）≥λ（4x﹣4﹣x）．

假设存在满足条件的正整数λ，

∵x∈[﹣ ， ]，

①当x=0时，不等式恒成立，

故得：λ∈R．

②当x∈（0， ]时，4x﹣4﹣x＞0，不等式转化为4x+4﹣x≥λ；

令u=4x，

则：1＜u≤2．

易证：Z= 在（1，2]上是增函数，其最小值为2．

故得：λ≤2．

③当x∈[﹣ ，0）时，4x﹣4﹣x＜0，不等式转化为4x+4﹣x≤λ；

令v=4x，

则： ≤v＜1，

易证：Z′= 在[ ，1）上是减函数，其最大值为 ．

故得：λ≥ ．

综上所得，λ不存在固定的值．

∴不存在正整数λ，使得f（2x）≥λf（x）对任意x∈[﹣ ， ]恒成立

【解析】（1）f（x）是定义域为R的奇函数．f（0）=0，可得k的值．（2）f（1）= ，求出a的值，可得f（x），函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，可求g（x）的值域；（3）假设存在满足条件的正整数λ，转化成不等式问题求解，分类讨论其正整数λ的值即可．
【考点精析】掌握函数的值域和函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．