Question

（理）令cn=1-

1

3

an，S_n为数列{nc_n}的前n项和，求证不等式Sn≤

2

3

n2-n+3．

Answer 1

分析：由bn=an+1-an=(

2

3

)n得a_n+1-a₁=(

2

3

)n+(

2

3

)n-1+…+(

2

3

)2+

2

3

=2[1-(

2

3

)n]，由a₁=1，知an=3-

2n

3n-1

（n∈N^*），即Cn=(

2

3

)n，所以S_n=C₁+2C₂+3C₃+…nC_n=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…n×(

2

3

)n，由此能求出S_n=6-

2n

3n-1

-

n×2n+1

3n

=6-(3+2n)•(

2

3

)n，从而能够证明Sn≤

2

3

n2-n+3．

解答：证明：由bn=an+1-an=(

2

3

)n，
得a_n+1-a₁=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）
=(

2

3

)n+(

2

3

)n-1+…+(

2

3

)2+

2

3

=2[1-(

2

3

)n]．
又∵a₁=1，
∴an=3-

2n

3n-1

（n∈N^*），
即cn=1-

1

3

an=1-

1

3

(3-

2n

3n-1

)=(

2

3

)n…（8分）
∴S_n=C₁+2C₂+3C₃+…nC_n
=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…n×(

2

3

)n…（1）
（1）式左右两边同乘

2

3

，
得

2

3

Sn=(

2

3

)2+2×(

2

3

)3+3×(

2

3

)4…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1…（2）
（1）式减去（2）式，
得

1

3

Sn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n×(

2

3

)n+1
=2[1-(

2

3

)n]-n×(

2

3

)n+1
∴S_n=6-

2n

3n-1

-

n×2n+1

3n

=6-(3+2n)•(

2

3

)n…（12分）
∵(

2

3

)n=(1-

1

3

)n=1-

1

3

n+

C

2 n

×(

2

3

)2+…≥1-

1

3

n
∴（3+2n）•(

2

3

)n≥(3+2n)•(1-

1

3

n)=-

2

3

n2+n+3，
∴Sn=6-(3+2n)•(

2

3

)n≥6-(-

2

3

n2+n+3)
=

2

3

n2-n+3，
故Sn≤

2

3

n2-n+3．…（14分）

点评：本题是函数与数列问题型综合问题，是近年数学高考的一个常考点，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．