Question

某班拟从两名同学中选一人参加学校知识竞赛，现设计一个预选方案：选手从五道题中一次性随机抽取三道进行回答，已知甲五道题中只会三道，乙每道题答对的概率都是3/5，且每道题答对与否互不影响．（1）分别求出甲乙两人答对题数的概率分布；
（2）你认为派谁参加比赛更合适．

Answer 1

分析：（1）设甲、乙答对的题数分别是ξ，η，ξ的可能取值为1，2，3，p（ξ=1）=

C 1 3 • C 2 2

C 3 5

=

3

10

，p（ξ=2）=

C 2 3 • C 1 2

C 3 5

=

3

5

，p（ξ=3）=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

．由此能求出ξ的分布列．
η的可能取值为0，1，2，3，p（η=0）=(

2

5

)3=

8

125

，p（η=1）=

C

1 3

(

3

5

) (

2

5

)2=

36

125

，p（η=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

) =

54

125

，p（η=3）=(

3

5

)3 =

27

125

，由此能求出η的分布列．
（2）由Eξ=Eη=

9

5

，Dξ=

9

25

＜Dη=

18

25

，知选派甲更合适．

解答：解：（1）设甲、乙答对的题数分别是ξ，η，
ξ的可能取值为1，2，3，
p（ξ=1）=

C 1 3 • C 2 2

C 3 5

=

3

10

，
p（ξ=2）=

C 2 3 • C 1 2

C 3 5

=

3

5

，
p（ξ=3）=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

．
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	3 10	3 5	1 10

η的可能取值为0，1，2，3，
p（η=0）=(

2

5

)3=

8

125

，
p（η=1）=

C

1 3

(

3

5

) (

2

5

)2=

36

125

，
p（η=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

) =

54

125

，
p（η=3）=(

3

5

)3 =

27

125

，

η	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

（2）Eξ=1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

=

9

5

，
Dξ=(1-

9

5

)2×

3

10

+(2-

9

5

)2×

3

5

+(3-

9

5

)2×

1

10

 =

9

25

，
Eη=0×

8

125

+1×

36

125

+2× 

54

125

+3×

27

125

=

9

5

，
Dη=(0-

9

5

)2×

8

125

+(1-

9

5

)2×

36

125

+(2-

9

5

)2×

54

125

+(3-

9

5

)2×

27

125

=

18

25

．
∵Eξ=Eη=

9

5

，Dξ=

9

25

＜Dη=

18

25

，
∴选派甲更合适．

点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意n次独立重复试验恰好发生k次概率公式的灵活运用．