Question

       已知抛物线，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。

   （1）当，且直线过抛物线C的焦点时，求的值；

   （2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。

Answer 1

（Ⅰ）  8  （Ⅱ）   直线过定点（-4，4）

解析:

（1）抛物线的焦点为（1，0）            2分

       由已知=，设，，

       联立，消得，

       所以，                    4分

      

      

  

（2）联立，消得………………（*）（依题意≠0）

       ，，                  8分

       设直线OA， OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为，，则α+β=45°，

       ，                     9分

       其中，，代入上式整理得  11分

       所以，即，                     12分

       此时，使（*）式有解的，有无数组

       直线的方程为，整理得

       消去，即时恒成立，

       所以直线过定点（-4，4）