Question

定义，
（Ⅰ）令函数，过坐标原点O作曲线C：的切线，切点为P（n>0），设曲线C与及y轴围成图形的面积为S，求S的值。
（Ⅱ）令函数,讨论函数是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值。
（Ⅲ）证明：当

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）当时，有极小值，没有极大值（Ⅲ）见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及定积分的综合运用。
（1） ，
，，
曲线C与y轴交点为A（0，1）
又过坐标原点O向曲线C作切线，切点为P（n，t）（n>0），
，切线方程为
（2），。
，
那么对于参数a分类讨论得到单调性得到极值。
（3）令
又令 
两次构造函数结合导数得到结论。解：（Ⅰ） ，
，，
曲线C与y轴交点为A（0，1）……………1分
又过坐标原点O向曲线C作切线，切点为P（n，t）（n>0），
，切线方程为…………3分
          ………………5分
（Ⅱ），。
   ………………6分
1）。当即时，（），
在单调递增从而没有极值； ………………7分
2）。当即时，方程有二个不等实根
，， 
若，则，，
在单调递增从而没有极值； ………………8分
若，则。当；当
当时，有极小值，没有极大值。 ………………9分
（Ⅲ）令，…………10分
又令 ，
单调递减.……………………11分

单调递减，………………12分
，
………………14分