Question

【题目】如图,在三棱锥中,已知是正三角形, 平面为的中点, 在棱上,且.

(1)求三棱锥的体积;

(2)求证: 平面;

(3)若为中点, 在棱上,且,求证: 平面.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中点,连接,由题意证明,利用面面垂直的性质定理证明平面,则可得,即可证明结论;(3) 连接, ,设,证明,则∥,即可证明结论.

试题解析：

(1)因为△是正三角形,且,

所以.

又⊥平面,

故==S△BCD.

(2)在底面中,取的中点,连接,

因,故.

因,故为的中点. 为的中点,

故∥,则

故因平面平面,

故平面平面.

△是正三角形, 为的中点,

故,故平面.

平面,故.

又,

故平面.

(3)当时,连接, .

设,因为的中点, 为中点,

故为△的重心, .

因= = ,

故,

所以∥.

又平面平面,

所以∥平面.