Question

如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=4正方形的边长为2
（1）求点A到平面PCD的距离；
（2）求直线PA与平面PCD所成角的大小；
（3）求以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥PD，由

PA⊥

平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，由CD⊥平面PAD，知CD⊥AE，由AE为A到平面PCD的距离．由此能求出题点A到平面PCD的距离的大小．
（2）由AE⊥平面PCD，知∠APD为直线PA与平面PCD所成的角，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的大小．
（3）过A作AF⊥PC，连EF，AE⊥平面PCD，由三垂线定理的逆定理知EF⊥PC，所以∠AFE为二面角A-PC-D的平面角，由此能求出以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值．

解答：解：（1）过A作AE⊥PD，
∵

PA⊥

平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵

CD⊥AD

，
∴CD⊥平面PAD．
又∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵PD⊥AE

∴AE⊥

平面PCD，
∴AE为A到平面PCD的距离．
在Rt△PAD中：
PA=4，AD=2，

∴PD= 42+22 =2 5

由S△PAD=

1

2

PA•AD=

1

2

PD•AE，
得AE=

4×2

2 5

=

4

5

5

．
（2）由（1）知AE⊥平面PCD，
∴∠APD为直线PA与平面PCD所成的角
在Rt△PAD中：
tan∠APD=

AD

PA

=

1

2

∴∠APD

=arctan

1

2

．
（3）过A作AF⊥PC，连EF，
由（1）知AE⊥平面PCD，
由三垂线定理的逆定理知EF⊥PC，
∴∠AFE为二面角A-PC-D的平面角，
在Rt△PAC中AF=

4

3

3

，
在Rt△AEF中，EF=

AF2-AE2

=

( 4 3 3 )2-( 4 5 5 )2

=

4 30

15

∴tan∠AFE=

AE

EF

=

4 5 5

4 ′15 30

=

6

2

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，求直线与平面所成角的大小，求以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．