Question

f（x）是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件：
①对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-2．
求函数f（x）在[-3，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

解：设x₁＞x₂≥0，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
因为x₁＞x₂≥0，所以f（x₁-x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），即函数在[0，3]上单调递减，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数在[-3，3]上单调递减，
因为f（1）=-2，所以f（2）=2f（1）=-4，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，
所以函数的最小值为f（3）=-6，函数的最大值为f（-3）=-f（3）=6．
分析：利用条件证明函数的单调性，然后利用单调性和奇偶性的关系，求函数的最值即可．
点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键．