Question

【题目】在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．

（1）证明：平面；

（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行；

（2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．

（1）证明：连接与交于，连接，

因为是菱形，所以为的中点，

又因为为的中点，

所以，

因为平面平面，

所以平面．

（2）解：取中点，连接，

因为四边形是菱形，，且，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以．

同理可证：，又，

所以平面，

所以平面平面，

又平面平面，

所以点到直线的距离即为点到平面的距离，

过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，

因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，

此时，为的中点，即，

所以，

所以．