Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N^*）
（I）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（II）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n．

Answer 1

解：（I）∵S_n=2a_n+n²-3n-2①∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
两式相减，得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，∴a_n+1=2a_n-2n+2
故a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），又在①式中令n=1得a₁=4，∴a₁-2≠0∴，
∴{a_n-2n}为等比数列
（II）由（I）知：a_n-2n=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+2n且cosnπ=（-1）ⁿ
当n为偶数时，设n=2k（k∈N^*）
则P_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）={-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^2k-1+2（2k-1）]}+[（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2^2k+2k）]=-（2+2³+…+2^2k-1）-2[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）+2（2+4+…+2k）=-（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2[-1+2-3+4-…-（2k-1）+2k]==
当n为奇数时，设n=2k-1（k∈N^*），同理可得==
综上所述，
分析：（I）将S_n=2a_n+n²-3n-2利用数列中a_n，Sn的关系进行转化构造出新数列{a_n-2n}，再据其性质证明．
（Ⅱ）将（I）中所求的a_n代入bn，分组求和法求和．
点评：本题考查等比数列的判断、数列求和，转化，计算的能力．