Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）如果当，且时， ，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）根据导数的运算法则,求出函数的导数,利用切线方程求出切线的斜率及切点坐标,利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上,列出关于的方程组,即可求出值；(2) 由（1）知，所以，考虑函数，则，分三种情况， ， ，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围即可.

试题解析：（1），

由于直线的斜率为，且过点，

故即

解得.

（2）由（1）知，所以.

考虑函数，则.

（ⅰ）设，由知，当时， .而，故

当时， ，可得；

当时， ，可得

从而当，且时， ，即.

（ⅱ）设.由于当时， ，故，而，

故当时， ，可得，与题设矛盾.

（ⅲ）设.此时，而，故当时， ，可得，与题设矛盾.综合得， 的取值范围为.