Question

（2013•湛江一模）设变量x，y满足约束条件

x+y≤4 x-y≤2 x≥0 y≥0

，则其目标函数z=mx+y仅在点（3，1）处取得最大值，则m的取值范围是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=mx+y对应的直线l进行平移，因为当且仅当直线l经过B（3，1）时，目标函数z=mx+y取得最大值，所以直线l的斜率应该小于直线BC的斜率．由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x+y≤4 x-y≤2 x≥0 y≥0

表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（3，1），C（0，4），O（0，0）
设z=F（x，y）=mx+y，将直线l：z=mx+y平移，可得
若当且仅当直线l经过B（3，1）时，目标函数z=mx+y取得最大值
则直线l的斜率-m＜0且-m＜k_BC=-1，解之得m＞1
因此，m的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）

点评：本题给出二元一次不等式组，求在目标函数z=mx+y的最优解唯一时求参数m的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．