Question

（2012•蓝山县模拟）△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a²-ab+b²=c²，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由三角形的周长为2，用a与b表示出c，代入已知的等式，得到a与b的关系式，整理得3ab+4=4（a+b），利用基本不等式求出a+b的最小值，以及此时a与b的关系，进而得到4（a+b）的最小值，可得出3ab+4的最小值，列出关于

ab

的不等式，求出不等式的解集即可得到

ab

的范围，得到ab的最大值，并求出此时a与b的值，最后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinC及a和b的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由a²-ab+b²=c²，得a²+b²-c²=ab，
利用余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（2）由a²-ab+b²=c²=（2-a-b）²，即3ab+4=4（a+b），
而 a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，
即3ab+4≥8

ab

，
即3ab-8

ab

+4≥0，
解得：

ab

≤

2

3

或

ab

≥2（舍去）
所以ab≤

4

9

，又sinC=

3

2

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab，
当a=b=

2

3

时，S_△ABC有最大值为

3

9

．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函数值以及三角形的面积公式，灵活运用基本不等式 a+b≥2

ab

，（当且仅当a=b时取等号）是求出三角形的最大面积的关键．