Question

已知函数的减区间是．
⑴试求m、n的值；
⑵求过点且与曲线相切的切线方程；
⑶过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：⑴由题意知：的解集为，
所以，-2和2为方程的根，                ………………2分
由韦达定理知 ，即m=1，n=0．         ………………4分
⑵∵，∴，∵
当A为切点时，切线的斜率，
∴切线为，即；                ………………6分
当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，
切线方程为，即   
因为过点A（1，-11）， ，∴，
∴或，而为A点，即另一个切点为，
∴，
切线方程为，即………………8分
所以，过点的切线为或．   …………9分
⑶存在满足条件的三条切线．                                     …………10分
设点是曲线的切点，
则在P点处的切线的方程为 即
因为其过点A（1，t），所以，，   
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，          …………………………11分
设，只要使曲线有3个零点即可．
设=0，∴分别为的极值点，
当时，在和上单增，
当时，在上单减，
所以，为极大值点，为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，
解得  .                                         …………14分

略