Question

设为数列的前项和，对任意的，都有(为正常数)．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

Answer 1

(1)证明详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用求出与的关系，判断数列是等差数列，从而写出等差数列的通项公式；（2）因为，所以可以证明是首项为，公差为1的等差数列，先求出的通项公式，再求；（3）把第（2）问的代入，利用错位相减法求.
试题解析：（1）证明：当时，，解得．     1分
当时，．即．    2分
又为常数，且，∴．
∴数列是首项为1，公比为的等比数列．              3分
（2）解：．          4分
∵，∴，即．    5分
∴是首项为，公差为1的等差数列．         6分
∴，即．    7分
（3）解：由（2）知，则                                                           
所以            8分
当为偶数时，

令                 ①
则  ②
①-②得  
=
==
                               10分
令                ③
  ④
③-④得
= 
==
                                          11分

12分
当为奇数时， 为偶数,

=
                            14分
法二：           ① 
 ②
9分
①-②得：                                             
                                                                         10分                                    
=                        12分
=
         13分
∴                                           14分