Question

【题目】在五面体中，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，是等腰直角三角形，，求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据且、、、四点共面，得到，由线面平行的判定得到平面，再由线面平行的性质定理，根据，，得到平面，再由面面垂直的判定证明.

（2）根据和，，得到是正方形，建立空间直角坐标系，不妨设，得到，，的坐标，求得平面的一个法向量，代入线面角向量公式求解.

（1）因为且、、、四点共面，所以，

又平面，所以平面，

又平面平面，所以，

因为，所以，

又，所以平面，

而平面，故平面平面.

（2）由和，可知，是正方形，

如图建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则由，且

得，，故令，得

设直线与平面所成角为，则

，从而