Question

【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，E，F，E1分别是棱AA1 ， BB1 ， A1B1的中点．
（1）求证：CE∥平面C1E1F；
（2）求证：平面C1E1F⊥平面CEF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取CC1的中点G，连接B1G交C1F于点F1，连接E1F1，A1G，FG，

∵F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，

∵四边形FGC1B1也是矩形，

∴FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点．

又E1是A1B1的中点，∴A1G∥E1F1．

又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点，

∴A1E綊CG，∴四边形A1ECG是平行四边形，

∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE．

∵CE平面C1E1F，E1F1平面C1E1F，

∴CE∥平面C1E1F

（2）证明：∵长方形BCC1B1中，BB1=2BC，F是BB1的中点，

∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形，

∴∠BFC=∠B1FC1=45°，

∴∠CFC1=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴C1F⊥CF．

∵E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，

∴EF∥AB．

又AB⊥平面BCC1B1，又C1F平面BCC1B1，

∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F．

又CF∩EF=F，∴C1F⊥平面CEF．

∵C1F平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF．

【解析】（1）要求证：CE∥平面C1E1F，取CC1的中点G，连接B1G交C1F于点F1，连接E1F1，A1G，FG，证明E1F1∥CE即可；（2）要证：平面C1E1F⊥平面CEF，证明C1F⊥CF，EF⊥C1F即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．